EULER ELASTIKASI NOAN’ANAVIY ELASTIKLIK NAZARIYASIDA

Xudoyberdiyeva Malika; Doniyorov Nodir; Quvondiqova Nozima; Eshmo‘minov Aziz

doi:10.5281/zenodo.21058239

25.06.2026

Oʻzbekcha

EULER ELASTIKASI NOAN’ANAVIY ELASTIKLIK NAZARIYASIDA

Published

25.06.2026

Journal

Ta'lim ufqlari

Issue

"Ta'lim ufqlari" ilmiy-uslubiy jurnali 2026-yil 1-son

Pages

26-29

DOI

10.5281/zenodo.21058239

Authors

Xudoyberdiyeva Malika , Doniyorov Nodir , Quvondiqova Nozima , Eshmo‘minov Aziz

Abstract

Mazkur ishda Euler–Bernoulli nazariyasiga asoslangan elastik chiziq modeli hamda uning nolokal (Eringen tipidagi) modifikatsiyasi ko‘rib chiqiladi. Lokal elastiklik modeli doirasida egilish momenti va egrilik o‘rtasidagi bog‘lanishdan foydalanib, Euler elastikasi uchun bosh differensial tenglama keltirib chiqariladi. Ushbu nochiziqli ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama bir marta integrallash orqali birinchi integralga keltiriladi va Yakobi elliptik funksiyalari hamda birinchi va ikkinchi turdagi to‘liq bo‘lmagan elliptik integrallar yordamida aniq analitik yechim olinadi. Keyinchalik kichik o‘lchamli effektlarni hisobga oluvchi Eringen nolokal elastiklik nazariyasi asosida konstitutiv bog‘lanish modifikatsiya qilinadi. Natijada lokal modelning umumlashgan ko‘rinishi olinadi va yangi bosh tenglama chiqariladi. Ushbu tenglama ham integrallash yo‘li bilan elliptik integrallar orqali bilvosita parametrik ko‘rinishda ifodalanadi. Olingan natijalar nano-balkalar va nanotuzilmalarning deformatsiyasini aniqlashda qo‘llanilishi mumkin.

Keywords

Euler elastikasi Leonhard Euler nazariyasi Daniel Bernoulli balkasi lokal elastiklik nolokal elastiklik egilish momenti egrilik Yakobi elliptik funksiyalari to‘liq bo‘lmagan elliptik integrallar mexanik muvozanat

Other language versions

Русский

В данной статье рассматривается модель упругой линии, основанная на теории Эйлера-Бернулли, и ее нелокальная (типа Эрингена) модификация. В рамках локальной модели упругости, используя соотношение между изгибающим моментом и кривизной, выводится основное дифференциальное уравнение для упругости Эйлера. Это нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка сводится к первому интегралу с помощью одного интегрирования, и получается точное аналитическое решение с использованием эллиптических функций Якоби и эллиптических интегралов первого и второго рода. Затем конститутивное соотношение модифицируется на основе нелокальной теории упругости Эрингена, которая учитывает мелкомасштабные эффекты. В результате получается обобщенная форма локальной модели и выводится новое определяющее уравнение. Это уравнение также выражается в параметрической форме, неявно через эллиптические интегралы посредством интегрирования. Полученные результаты могут быть использованы для определения деформации нанобалок и наноструктур.

балка Эйлера теория Леонарда Эйлера балка Даниэля Бернулли локальная упругость нелокальная упругость изгибающий момент кривизна эллиптические функции Якоби неполные эллиптические интегралы механическое равновесие

English

This work examines the elastic line model based on the Euler–Bernoulli theory and its nonlocal (Eringen-type) modification. Within the local elasticity model, by employing the relationship between the bending moment and curvature, the governing differential equation for Euler elasticity is derived. This nonlinear second-order ordinary differential equation is reduced to a first integral by a single integration, and an exact analytical solution is obtained using Jacobi elliptic functions and elliptic integrals of the first and second kind. Subsequently, the constitutive relation is modified based on Eringen’s nonlocal elasticity theory that accounts for small-scale effects. As a result, a generalized form of the local model is obtained and a new governing equation is derived. This equation is also expressed in a parametric form via elliptic integrals by integration. The obtained results can be used to determine the deformation of nano-beams and nanostructures.

Euler beam Leonhard Euler’s theory Daniel Bernoulli beam local elasticity nonlocal elasticity bending moment curvature Jacobi elliptic functions incomplete elliptic integrals mechanical equilibrium

References

[1] Theory of Elastic Stability – Stephen P. Timoshenko va James M. Gere

[2] Theory of Elasticity – Lev Davidovich Landau va Evgeny M. Lifshitz

[3] Advanced Strength and Applied Elasticity – Ansel C. Ugural va Saul K.

[4] Mechanics of Materials – James M. Gere va Stephen P. Timoshenko

[5] Elastic Stability of Structures – Alexander Chajes

[6] Stability of Structures – Zdeněk P. Bažant va Luigi Cedolin

[7] Engineering Mechanics of Solids – Egor P. Popov

[8] Introduction to Solid Mechanics – Irving H. Shames

[9] Structural Stability of Steel – Theodore V. Galambos

[10] Nonlinear Solid Mechanics – Gerhard A. Holzapfel

View PDF